第1章-函数、极限与连续

1.1 函数极限的定义

极限的本质：无论你取多小的距离 $\varepsilon$，函数值与极限值之间的距离都能比它还小。

六种趋向类型：

ε-δ 语言：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$。

📌 简单理解：先定一个误差 ε（多小都行），
就能找到一个范围 δ，让这个范围内的函数值都落在 A±ε 之间。

去心邻域：$0<|x-x_0|<\delta$，表示"靠近 $x_0$ 但不等于 $x_0$"。

定义变体的等价性（常考细节）：

• $|x-x_0|<\delta$ 与 $|x-x_0|\le\delta$ 等价（存在一个 $\delta$，就存在更小的 $\delta$）
• $\varepsilon$ 取任意小正数与 $\varepsilon$ 只取小范围等价
• 结论：这些细节不影响"极限是否存在"的判断

极限与函数值无关：$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ 与 $f(x_0)$ 是否有定义、取值多少都无关。即使 $f(x_0)=A$，也推不出极限存在。

极限存在的必要条件：极限存在 $\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内处处有定义。

📌 易错：求 lim(x→0) x·sin(1/x) 时，不能盲目用等价无穷小。
sin(1/x) 在 x→0 过程中会在某些点取 0，导致函数无定义，必须先看定义域。

单侧极限与充要条件：

• 右极限 $f(x_0^{+})$、左极限 $f(x_0^{-})$
• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff f(x_0^{+})=f(x_0^{-})=A$（左右极限存在且相等）

1.2 极限的性质

唯一性：极限若存在，则唯一。

局部有界性：极限存在（有限）$\Rightarrow$ 去心邻域内有界；极限为无穷 $\Rightarrow$ 无界。

局部保号性：

• 去帽保号：$\displaystyle\lim f(x)=A>0 \Rightarrow$ 某去心邻域内 $f(x)>0$
• 加帽保号：某去心邻域内 $f(x)\ge 0 \Rightarrow \displaystyle\lim f(x)\ge 0$（注意：只能推出"$\ge$"，不能推出"$>$"）
• 比较推论：$\displaystyle\lim f=A,\ \lim g=B$，且 $A>B \Rightarrow$ 去心邻域内 $f(x)>g(x)$

绝对值与极限：

• $\displaystyle\lim f(x)=A \Rightarrow \lim |f(x)|=|A|$ ✓
• $\displaystyle\lim |f(x)|=A \nRightarrow \lim f(x)=A$ ✗（反例：振荡函数）

1.3 极限四则运算与存在性

拆的前提：参与运算的各项极限都要存在。

存在性判定表（设 $\displaystyle\lim f=\alpha,\ \lim g=\beta$）：

📌 拆分定理（快捷结论）：加减法中，只要其中一项极限存在，立刻拆开算。
存在的项拆出去，剩下的再整体分析。

典型反例记忆：

• 两个"不存在"相加可能"存在"（如 $\frac1x$ 与 $-\frac1x$ 相加为 0）
• 两个"不存在"相乘可能"存在"（如 $\frac1x$ 与 $x$ 相乘为 1）

1.4 无穷小量与无穷大量

无穷小量：某趋向过程中极限为 0 的函数（是"过程"，不是"很小的数"）。

核心性质：无穷小量 × 有界函数 = 无穷小量（如 $x\to 0$ 时 $x\sin\frac1x \to 0$）。

无穷大量：某趋向过程中极限为 $\infty$。对比性质：

• 无穷大必须与趋向过程关联
• 无穷大 × 有界函数不一定是无穷大（有反例）
• 无穷大 × 无穷大 = 无穷大
• 无穷大 ± 有界变量 = 无穷大

互为倒数：非零无穷小与无穷大互为倒数。

1.5 无穷小的阶的比较

设 $\alpha,\ \beta$ 是同一趋向下的无穷小：

📌 口诀：无穷小——阶数越高越小；无穷大——阶数越高越大。

增长速度金字塔（$x\to+\infty$）：对数函数 $\ll$ 幂函数 $\ll$ 指数函数。

1.6 常用等价无穷小（$x\to 0$，必背）

一阶组：

$$\sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad \arcsin x \sim x,\quad \arctan x \sim x$$

$$\ln(1+x) \sim x,\quad e^x-1 \sim x,\quad a^x-1 \sim x\ln a$$

$$(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x,\quad \sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2}$$

二阶组：

$$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2},\quad x-\ln(1+x) \sim \frac{x^2}{2},\quad e^x-1-x \sim \frac{x^2}{2}$$

三阶组：

$$x-\sin x \sim \frac{x^3}{6},\quad x-\arcsin x \sim -\frac{x^3}{6}$$

$$x-\tan x \sim -\frac{x^3}{3},\quad x-\arctan x \sim \frac{x^3}{3}$$

$$\tan x-\sin x \sim \frac{x^3}{2},\quad \tan x-\arctan x \sim \frac{2}{3}x^3$$

$$e^x-1-\ln(1+x) \sim x^2$$

反双曲正弦：$\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \sim x$（奇函数；导数 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$）

📌 推广：所有等价无穷小中的 x 都可以换成任意"方块"□，
只要 □→0 即可。例如 sin(x²) ~ x²，1−cos(3x) ~ (3x)²/2。

1.7 等价无穷小替换准则（最重要）

1. 乘除法因式替换：乘除因子可整体等价替换 ✓
2. 加减法慎用：$\alpha\sim\alpha',\ \beta\sim\beta'$ 时，若 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的极限 $\neq -1$，才能 $\alpha+\beta \sim \alpha'+\beta'$；比值趋于 $-1$ 时不可（会相消出错）
3. 非零因子替换：极限存在且不为零的因子可先算出
4. 次方数内替换：$\alpha\sim\beta \Rightarrow \alpha^{a}\sim\beta^{a}$

📌 和取低阶原则：加减法中，同阶不等价的无穷小相加，
取阶数低（主导）的那项。高阶无穷小比低阶更快趋于 0，加法里起作用的是低阶。

高阶无穷小运算法则（$o(\cdot)$）：

• 加减取低阶：$o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^{L})$，$L=\min(m,n)$
• 乘法叠加：$o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
• 数乘不变：常数 $\times o(x^k)=o(x^k)$

1.8 无穷大比阶与抓大头

比较准则：与无穷小对称，比值极限定高低阶。

抓大头思想：$x\to\infty$ 时高阶项主导，低阶项忽略。

📌 抓大头：分子分母都是多项式时，只看最高次项。
如 lim(x→∞) (3x²+2x)/(5x²+x) = 3/5（直接看 x² 系数比）。

等价无穷大替换：乘除法可用，加减法慎用（两项作比极限 $\neq -1$ 才能替换）。

典型应用：$\infty-\infty=$ 常数 $\Rightarrow$ 两个无穷大的主导项必须相同（据此反求参数）。

2.1 泰勒公式与麦克劳林展开

泰勒公式（皮亚诺余项）：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o\big((x-x_0)^n\big)$$

麦克劳林公式 $=$ $x_0=0$ 的特例。

常见麦克劳林展开（必背）：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^{2n})$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+o(x^{2n+1})$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+o(x^n)$$

$$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+o(x^n)$$

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+o(x^{2n})$$

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \quad \text{（低阶，二阶项为零）}$$

两条展开原则（必背）：

1. 上下同阶原则：分子分母同阶时，展开到分母的同阶项为止。
2. 相消不为零原则：加减后若低阶项相消，高阶项成为主导——展开必须到"相消后第一个不为零的阶"。

📌 经典例题：lim(x→0) (tan x − sin x)/x³ = ?
tan x = x + x³/3 + o(x³)
sin x = x − x³/6 + o(x³)
tan x − sin x = (x³/3 + x³/6) + o(x³) = x³/2 + o(x³) ~ x³/2
所以极限 = (x³/2)/x³ = 1/2
（一阶项相消，必须展开到三阶！）

2.2 五星级黄金函数图像

$x\to 0^{+}$ 时的大小关系：$\arcsin x > x > \sin x$（三者在原点相交）。

$x\to+\infty$ 时的增长排序：$e^x > x^a > \ln x$（指数最快，对数最慢）。

📌 图像记忆：在 x 很大时，
指数函数"直冲云霄"，幂函数"稳步上升"，对数函数"贴地平缓"。

3.1 五大核心方法总纲

1. 等价无穷小替换：乘除可用、加减慎用
2. 泰勒公式：处理不同阶无穷小的精确计算
3. 四则运算：各项极限存在才能拆
4. 洛必达法则：$0/0$、$\infty/\infty$ 型，需验三条件
5. 拉格朗日中值定理：相同对应法则作差

解题总纲：先定型 → 四化 → 后定法

📌 七种未定式：0/0、∞/∞、0·∞、∞−∞、1^∞、0⁰、∞⁰
考研高频：0/0、∞/∞、1^∞（占真题 95% 以上）

"四化"原则：

1. 非零因子淡化（乘除中极限存在且非零的部分先算）
2. 加减法中存在项可拆
3. 遇到根式想有理化
4. 遇到幂指函数想幂指转换 $u^v=e^{v\ln u}$

3.2 洛必达法则

三个条件：

1. $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型（实际可扩展到"分母 $\to\infty$、分子任意"）
2. 去心邻域内分子分母可导，且分母导数不为 0
3. $\displaystyle\lim \frac{f'}{g'}$ 存在（有限）或为 $\infty$

📌 易错：极限"不存在"分两种——
① 无穷大（洛必达法则允许）
② 振荡不唯一（洛必达法则不允许）

经典失效反例：原极限存在，但导函数之比在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡，极限不唯一 $\Rightarrow$ 洛必达不可用。

推导方向：

• 后推前 ✓：$\displaystyle\lim\frac{f'}{g'}$ 有极限 $\Rightarrow \lim\frac{f}{g}$ 有极限
• 前推后 ✗：$\displaystyle\lim\frac{f}{g}$ 有极限 $\nRightarrow \lim\frac{f'}{g'}$ 有极限（可能振荡）

📌 结论：lim f/g 存在 是 lim f'/g' 存在的"必要非充分条件"。

使用提醒：

• 数列极限不能直接用洛必达（数列不可导）
• 抽象函数可导性未知时禁用洛必达

3.3 拉格朗日中值定理

定理：$f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导 $\Rightarrow \exists\,\xi\in(a,b)$，使

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$

几何意义：曲线上存在一点，其切线平行于割线。

📌 应用标志：看到"相同对应法则的两函数作差"就用它，
如 aˣ−bˣ、ln u − ln v 这类结构。

关键技巧：$\xi$ 介于两变量之间，用夹逼确定 $\xi$ 的趋向，从而 $f'(\xi)$ 的极限可求（常作为非零因子提出）。不能直接把 $\xi$ 替换成趋向点。

3.4 非零因子先算 vs 局部先算（易错重点）

非零因子：极限存在且不为零的因子（"既要非零，又要是乘除法中的因子"）。

局部先算错误：

• ❌ 把加减法中某项极限先算成 0 再算其余
• ❌ 把非因子部分替换成 1
• ❌ 随意拆分不存在的极限

📌 口诀：非零因子可以先算，非因子不能先算。
幂指函数 lim u^v 必须先幂指转换，再处理指数部分。

4.1 七种未定式逐一突破

① $0/0$ 型（无穷小比无穷小）

工具：等价替换、泰勒（加减抵消高阶精算）、洛必达、四则拆分、拉格朗日。

技巧：

• $2^x-1$ 型：提公因式构造 $e^{\square}-1$ 结构
• 两根号做差：分子有理化
• $\ln$ 型分式：对数和先合并成积（$\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$，常出现平方差结构）
• 三项加减：补项法（加一项减一项凑 $e^{\square}-1$ 结构）

② $\infty/\infty$ 型

工具：抓大头、上下同除最大项、洛必达。

📌 多项式系数反求：极限存在为常数 ⇒ 分子最高次项系数=0，
次高项系数与分母匹配，逐层确定各系数。

③ $\infty-\infty$ 型

• 有分母 → 通分
• 无分母 → 倒代换 $t=\frac1x$ 或 提大头
• 根式差 → 有理化

📌 易错：x→−∞ 时 √(x²) = |x| = −x，符号处理是核心考点。

④ $1^{\infty}$ 型（考研极其高频）

推导：$u^v=e^{v\ln u}$，因 $u\to1$ 时 $\ln u\sim u-1$，故

$$\lim u^v=e^{A},\quad \text{其中}\ A=\lim v(u-1)$$

📌 记忆口诀："极限符号照抄，头顶（指数）照写，底减 1。"

注意：

• 最终答案必须写成 $e^{A}$ 的完整形式（漏掉底数 $e$ 是高频失分点）
• 使用前必须验证：底数极限 $=1$、指数极限 $=\infty$

📌 经典验证：(1+1/n)^n → e，(1+1/x)^x → e

⑤ $0\cdot\infty$ 型

转化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$（把一个因子放入分母）。

📌 重要极限（必记）：lim(x→0⁺) x·ln x = 0
推广：lim x·ln|x| = 0（含正负，高难度题频繁出现）

⑥ $0^0$ 与 $\infty^0$ 型

统一用幂指转换 $u^v=e^{v\ln u}$，转换后指数部分为 $0\cdot\infty$ 型再处理。

📌 与 1^∞ 的区别：1^∞ 可用经验公式简化；
0⁰、∞⁰ 只能幂指转换，无法简化。

4.2 极限与无穷小关系定理（万能钥匙）

定理：$\displaystyle\lim f(x)=A \iff f(x)=A+o(1)$（即 $f=A+$ 无穷小）

用法：已知 $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}=3$，则 $f=3g+o(g)$，代入目标式分离求解。

📌 常见错误：
① 在加减法中直接等价替换
② 对未知可导性的抽象函数用洛必达

4.3 左右开弓法（分左右极限的情形）

充要条件：极限存在 $\iff$ 左右极限存在且相等。

必分左右的情形：

1. $e^{1/x}$ 型（$x\to0^{+}\to\infty$，$x\to0^{-}\to0$）
2. $\arctan\frac1x$ 型（$\to\pm\frac{\pi}{2}$）
3. 绝对值 $|x|$、$\sqrt{x^2}$ 型（$x\to0$ 时 $\pm1$）
4. 取整函数 $[x]$
5. 分段函数在分段点

4.4 已知极限求参数（"披着羊皮的狼"）

📌 核心原则：结果一定是未定式。
若不是未定式，可直接确定参数；
比值极限存在且非零 ⇒ 分子分母必须同阶。

步骤：定型 → 强制未定式定部分参数 → 标准方法求剩余参数。

📌 典型：lim = 5（非零常数）⇒ 分母极限必为 0，据此定参数。
∞−∞=常数 ⇒ 两无穷大主导项必须相同（如 √(x²+ax) − bx 中 a 由 b 决定）。

5.1 数列极限的定义

数列：定义在正整数集上的函数，只有一种趋向 $n\to+\infty$。

ε-N 定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|a_n-A|<\varepsilon$。

📌 直观理解：从某一项开始，后面"所有项"都贴近 A。
前面有限项不影响极限。

5.2 子数列关系

• 收敛数列的任何子列都收敛于同一极限
• 奇偶两个覆盖性子列收敛于同一值 $\Rightarrow$ 原数列收敛
• 仅两个（不覆盖的）子列收敛，推不出原数列收敛（反例 $-1,0,-1,0,\dots$）

📌 易错：|aₙ| 收敛推不出 aₙ 收敛（反例 (−1)ⁿ）；
aₙ 收敛 ⇒ |aₙ| 收敛 ✓。

5.3 数列极限的性质

• 唯一性：收敛数列极限唯一
• 有界性：收敛 $\Rightarrow$ 有界（反之不成立）
• 保号性：$\displaystyle\lim a_n=a>0 \Rightarrow n$ 充分大时 $a_n>0$；$a_n\ge0 \Rightarrow \lim a_n\ge0$
• 保序性：$\displaystyle\lim a_n=a,\ \lim b_n=b$，$a>b \Rightarrow n$ 充分大时 $a_n>b_n$

📌 易错：保序性只保证"n 充分大后"，不能说"对任意 n 成立"。

5.4 连续化处理（海涅定理/归结原则）

核心：数列极限不能直接用洛必达、不能换元到其他趋向（数列不可导、$n$ 只趋向 $+\infty$）。

海涅定理：$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A \Rightarrow$ 对任意趋于 $x_0$ 的数列 $x_n$，$\displaystyle\lim f(x_n)=A$。

应用：把 $\displaystyle\lim f(n)$ 化为 $\displaystyle\lim f(x)$（$x\to+\infty$），再用函数极限全套方法。

5.5 夹逼准则（三明治准则）

条件：$y_n\le x_n\le z_n$（$n$ 充分大），且 $\displaystyle\lim y_n=\lim z_n=a \Rightarrow \lim x_n=a$。

常用放缩手法：

1. $n$ 项和：放缩分母（全取最大/最小），使分子可求和
2. $n$ 项乘积/开 $n$ 次方：保留最大项
3. 分段讨论各区间最大项

📌 经典：lim(n→∞) ⁿ√(a₁ⁿ+a₂ⁿ+...+aₘⁿ) = max(a₁,...,aₘ)

例1.65 警示：$\displaystyle\lim(a_n-b_n)=0$ 推不出 $\lim a_n,\ \lim b_n$ 存在或相等（"差的极限存在"不要求"各自极限存在"）。

5.6 单调有界准则（考研大题高频）

定理：单调递增 $+$ 有上界（或单调递减 $+$ 有下界）$\Rightarrow$ 极限存在。

题型标志：给定递推式 $a_{n+1}=f(a_n)$，证明收敛并求极限。

三步法：

1. 求极限（草稿先行）：解不动点方程 $A=f(A)$，得候选值
2. 证有界（最难）：数学归纳法（"子子孙孙法"）、基本不等式放缩
3. 证单调：作差法、作比法、导数法

📌 作比法陷阱：aₙ<0 时，比值<1 反而对应"递减"。
📌 导数法前提：必须已知前两项大小关系。

顺序铁律：先证有界，再证单调，顺序不可颠倒；有界要证出具体范围。

5.7 黄金重要不等式（近年考研高频）

• 指数不等式：$e^x\ge 1+x$（当且仅当 $x=0$ 取等）
• 对数不等式：$\ln(1+x)\le x$（$x>-1$）
• 三角不等式：$x>0$ 时 $\sin x<x$；$x<0$ 时 $\sin x>x$
• 基本不等式（AM≥GM）：$\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$

📌 用途：放缩证有界性。eˣ、1+x、ln(1+x) 在原点相切，配合图像记方向。
📌 2018 数一考过 14 分，务必掌握。

6.1 函数连续的定义与判定

定义：$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。三要素：极限存在 $+$ 该点有定义 $+$ 极限值 $=$ 函数值。

单侧连续：连续 $\iff$ 既左连续又右连续。

判定方法：

1. 图像法（不断）
2. 初等函数在其定义区间内处处连续
3. 定义法（不需分左右直接验；需分左右验 $f(x_0^{-})=f(x_0^{+})=f(x_0)$）

闭区间连续：开区间内连续 $+$ 左端点右连续 $+$ 右端点左连续。

初等函数：基本初等函数（反对幂三指：反三角、对数、幂、三角、指数）经有限次四则与复合而成。

📌 分段函数一般不是初等函数；|x|、u(x)^v(x)（幂指）是初等函数。

6.2 连续函数的运算

四则运算：

复合连续：外层在 $u_0$ 连续 $+$ 内层在 $x_0$ 连续且 $u(x_0)=u_0 \Rightarrow$ 复合函数连续。推论：$\displaystyle\lim f(g(x))=f\big(\lim g(x)\big)$（极限可"踢进"连续函数内）。

6.3 连续函数的保号性

已知 $f$ 在 $x_0$ 连续，若 $\displaystyle\lim f>0$（连同 $f(x_0)>0$），则存在完整邻域内 $f>0$。

📌 与极限保号性的区别：极限保号性只保证"去心邻域"，
连续保号性还额外保证了该点本身 f(x₀)>0。

辨析：

• 连续 $\Rightarrow$ 该点有定义 ✓
• 有定义 $\Rightarrow$ 连续 ✗
• 连续 $\Rightarrow$ 某邻域内处处有定义 ✓

6.4 间断点分类（高频题型）

📌 判定流程：找无定义点（分母=0、ln/√ 定义域限制）→
逐点算左右极限 → 对号入座。别漏掉定义域限制产生的间断点。

6.5 有界性判定（扯面定理）

• 极限存在 $\Rightarrow$ 去心邻域有界
• 极限为无穷 $\Rightarrow$ 无界
• 闭区间连续 $\Rightarrow$ 有界
• 扯面定理：开区间连续 $+$ 两端点单侧极限存在 $\Rightarrow$ 区间内有界

7.1 导数定义（两种形式）

增量式：$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

作差式：$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

几何意义：切线斜率 $=$ 割线斜率的极限。

📌 必须用导数定义的场景：
① 分段函数在分段点求导
② 导数与极限挂钩的题
③ 未知函数（抽象函数）的可导性分析

7.2 可导、连续、有定义的关系链

可导 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 有定义（均不可逆）：

• 连续 $\nRightarrow$ 可导（经典反例 $|x|$ 在 0 处）
• 有定义 $\nRightarrow$ 连续

单侧导数：可导 $\iff$ 左右导数存在且相等。

高阶导与连续：$n$ 阶可导 $\Rightarrow$ $n-1$ 阶导连续。

7.3 极限条件与导数存在（易错重灾区）

核心：$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在推不出 $f'(x_0)$ 存在，除非 $f$ 在 $x_0$ 连续（否则分子不趋于 0，比式无意义）。

📌 例1：仅知 f(x₀) 有定义 + 某极限值 ⇒ 推不出可导（构造不连续反例）。
📌 例2：f 在 x₀ 连续 + lim f(x)=0（即 f(x₀)=0）⇒ 可把导数定义改写验证。

洛必达与导数定义的边界：抽象函数在邻域内可导性未知时禁用洛必达；改用导数定义 $+$ 泰勒（对已知光滑部分展开）。

习题（考研真题精选）

选择题

1. 【04年数三真题】 已知 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x f(x)}=5$，其中 $f$ 连续，求 $f$ 相关参数。

1. 【2018数一】 利用不等式 $e^x\ge1+x$ 或基本不等式证明递推数列有界性（14 分大题）。

1. 【2020真题】 判断函数间断点类型（可去/跳跃/无穷/振荡），涉及 $\ln$ 定义域限制。

1. 【2023真题】 给定递推关系 $a_{n+1}=f(a_n)$ 与初始条件，证明极限存在并求极限。

高频考点自测

1. 默写全部常用等价无穷小（一阶/二阶/三阶组）
2. 默写 8 个麦克劳林展开式
3. 复述 $1^{\infty}$ 经验公式与口诀
4. 复述洛必达三条件与失效反例
5. 复述单调有界三步法与黄金不等式